ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116393
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

В треугольнике ABC точки A1, B1, C1 – основания высот из вершин A, B, C, точки CА и CВ – проекции C1 на AC и BC соответственно.
Докажите, что прямая CАCВ делит пополам отрезки C1A1 и C1B1.


Решение

  Из решения задачи 108197 видно, что основания перпендикуляров, опущенных из вершины K треугольника KLM на биссектрисы углов L и M, лежат на средней линии, параллельной стороне LM. Аналогично доказывается то же для оснований перпендикуляров, опущенных на биссектрисы внешних углов.
  Высоты треугольника ABC являются биссектрисами (внешних или внутренних) углов треугольника A1B1C1 (см. задачу 56512 а). Значит, перпендикулярные им стороны треугольника ABC – биссектрисы дополнительных углов. Как сказано выше, основания CА и CВ перпендикуляров, опущенных из вершины C1 на AC и BC, лежат на средней линии треугольника A1B1C1, параллельной стороне A1B1. А это и требовалось.

Замечания

баллы: 5

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .