Задача 116097

Темы:    [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Свойства инверсии ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.

Решение

Пусть AB — хорда окружности S , а S1 и S2 — касающиеся окружности, вписанные в один из сегментов, на которые окружность S делится хордой AB , M — точка касания окружностей S1 и S2 .
При инверсии относительно произвольной окружности с центром A точка B перейдёт в некоторую точку B' , окружность S , проходящая через центр инверсии, — в прямую S' , проходящую через точку B' , прямая AB , проходящая через центр инверсии, — в себя, касающиеся окружности S1 и S2 , не проходящие через центр инверсии, — в касающиеся окружности S1' и S2' , вписанные в угол с вершиной B' , образованный пересечением прямых AB и S' .
Точка касания M' окружностей S1' и S2' (образ точки M ) лежит на биссектрисе этого угла. Если ещё раз применить ту же инверсию, то эта биссектриса перейдёт в дугу некоторой окружности, делящей пополам угол с вершиной B между прямой AB и окружностью S .

Ответ

Дуга окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	4
Название	Сделаем инверсию
Тема	Инверсия помогает решить задачу
задача
Номер	28.022
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6124