ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116078
Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Параллелограммы: частные случаи (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

На рисунке изображен параллелограмм и отмечена точка P пересечения его диагоналей. Проведите через P прямую так, чтобы она разбила параллелограмм на две части, из которых можно сложить ромб.


Решение

Пусть ABCD  – данный параллелограмм, P  – точка пересечения его диагоналей. Отметим на сторонах BC и AD точки X и Y так, как показано на рисунке, Z  – основание перпендикуляра, опущенного из точки X на прямую AD. Применив для треугольника XYZ теорему Пифагора, получим, что . Тогда из четырехугольников ABXY и YXCD можно сложить ромб A1B1XY.

Отметим, что такая прямая существует для любого параллелограмма. Действительно, пусть в параллелограмме ABCD AB < BC иABC  – не острый (см. рис. ниже). Тогда существует отрезок XY с концами на сторонах BC и AD, равный BC. Для того, чтобы его построить, достаточно провести окружность с радиусом, равным 1/2BC, и центром в точке P. Она пересечет отрезок BC хотя бы в одной точке, поскольку расстояние от точки P до прямой BC не больше, чем 1/2 AB, т. е. не больше, чем 1/2BC, а PC > 1/2BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 07 (2009 год)
Дата 2009-04-12
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .