Задача 115604

Темы:    [ Вписанные четырехугольники ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Медиана делит площадь пополам ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Известно, что для вписанного в окружность четырёхугольника ABCD выполнено равенство  AB : BC = AD : DC.  Прямая, проходящая через вершину B и середину диагонали AC, пересекает окружность в точке M, отличной от B. Докажите, что  AM = CD.

Решение

Диагональ BM четырёхугольника ABCM делит пополам его диагональ AC, значит, она делит пополам и площадь четырёхугольника ABCM, а так как
sin∠BCM = sin∠BAM,  то  AB·AM = BC·CM,  или  AB : BC = CM : AM.  Таким образом,  AD : DC = CM : AM.  Поэтому треугольники ADC и CMA подобны, а так как AC – их общая сторона, то эти треугольники равны. Следовательно,  AM = CD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3354