Условие
Даны четыре точки
A ,
B ,
C ,
D . Известно, что
любые две окружности, одна из которых проходит через
A и
B , а
другая — через
C и
D , пересекаются. Докажите, что общие
хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.
Решение
Рассмотрим сначала случай, когда точки не лежат на одной
прямой. Если, например,
C и
D лежат по одну сторону от прямой
AB , то
существует окружность
σ , проходящая через
C и
D и касающаяся
AB .
Тогда через
A и
B можно провести окружность достаточно большого радиуса,
не пересекающую
σ . Следовательно, отрезки
AB и
CD должны
пересекаться. Пусть
O — точка пересечения серединных перпендикуляров к
этим отрезкам. Две окружности с центром
O и радиусами
OA и
OC либо не
пересекаются, либо совпадают. Таким образом, точки
A ,
B ,
C ,
D лежат
на одной окружности. По теореме о радикальных осях трех окружностей общая
хорда любых двух окружностей, проходящих через
A ,
B и
C ,
D
соответственно, проходит через точку пересечения
AB и
CD .
Если же все точки лежат на одной прямой, то, очевидно, что отрезки
AB и
CD
пересекаются, а общая хорда окружностей пересекает прямую, на которой лежат
точки, в точке
P , принадлежащей обоим отрезкам и удовлетворяющей равенству
PA· PB=PC· PD . Эти условия определяют точку
P однозначно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2008 |
|
тур |
|
задача |
|
Номер |
11 |
