Задача 111670

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом φ при вершине, O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудалённая от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁OC₁ = 180° – φ.

Решение

Построим на стороне BC (см. рис.) внешним образом равнобедренный треугольник BA₁C с углом  360° – 2φ  при вершине A₁ (если  φ < 90°,  строим внутренним образом треугольник с углом 2φ). Тогда сумма трёх углов при вершинах трёх равнобедренных треугольников AC₁B, AB₁C и BA₁C равна 360°. Согласно задаче 111665 углы треугольника A₁B₁C₁ вдвое меньше соответствующих углов при вершинах этих равнобедренных треугольников, то есть  ∠B₁A₁C₁ = 180° – φ,  ∠A₁C₁B₁ = ∠A₁B₁C₁ = ^φ/₂,  а так как  A₁C = A₁B,  то точка A₁ равноудалена от точек B₁ и C₁, значит, она совпадает с данной в условии точкой O. Следовательно,  ∠B₁OC₁ = 180° – φ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4188