|
|
 |
Условие
На продолжении стороны BC треугольника ABC за вершину B отложен отрезок BB', равный стороне AB. Биссектрисы внешних углов при вершинах B и C пересекаются в точке M. Докажите, что точки A, B', C и M лежат на одной окружности.
Решение 1
Согласно свойствам биссектрис AM – биссектриса угла A. Точки A и B' симметричны относительно прямой MB, поэтому треугольники BB'M и BAM) тоже симметричны. Значит, ∠BB'M = ∠BAM = ∠CAM, то есть отрезок CM виден из точек A и B' под равными углами.
Решение 2
Рассмотрим ещё точку N пересечения биссектрис внешних углов A и B (и биссектрисы внутреннего угла C). Углы MCN и MAN – прямые (в силу перпендикулярности биссектрис внешнего и внутреннего углов), поэтому точки A и C лежат на окружности с диаметром MN. Точка B' лежит на этой же окружности как симметричная точке A относительно диаметра MN.
Замечания
1. 4 балла.
2. Ср. с решением задачи 105104.
