Задача 109798

Темы:    [ Необычные конструкции ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Пусть M={x₁, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; A_n ( 1 n 30 ) – сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M . Докажите, что если A15>A10 , то A₁>1 .

Решение

Пусть A₁ 1 . Достаточно доказать, что A_n+1<A_n при любом 1 n 29 . Имеем A_n A₁A_n . Перемножая A₁ и A_n и раскрывая скобки, видим, что A₁A_n=A_n+1+S_n , где S_n – сумма всех слагаемых полученной суммы, в которых встречается квадрат одного из x_i . Тогда S_n>0 , откуда следует требуемое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	04.5.11.5