Задача 109514
|
|
 |
Условие
Докажите, что если два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объемы, то их можно расположить в пространстве так, что любая горизонтальная плоскость, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причем по многоугольнику той же площади.Решение
Пусть даны прямоугольные параллелепипеды ABCDA'B'C'D' и A1B1C1D1A'1B'1C'1D'1 равного объема, который мы будем считать единичным. Обозначим длины их ребер через a , b , c и a1 , b1 , c1 соответственно. Если у параллелепипедов есть равные ребра, например a=a1 , то достаточно поставить параллелепипеды на горизонтальную плоскость так, чтобы ребра a и a1 были перпендикулярны ей, так как тогда любое их сечение горизонтальной плоскостью будет иметь площадь bc=b1c1 . Поэтому далее будем считать, что длины ребер параллелепипедов различны. Всюду буквами S и V обозначим площадь и объем соответственно.
Мы покажем, что на ребрах AA' и A1A'1 параллелепипедов найдутся точки M и M1 такие, что SMBD=SM1B1D1 и VAMBD=VA1M1B1D1 . Далее мы получим, что расположение параллелепипедов, при котором плоскости MBD и M1B1D1 горизонтальны и совпадают (рис.), удовлетворяет условию.
Докажем предварительно несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Пусть в пирамиде ABCD плоские углы при вершине A прямые, а площади граней BCD , ABC , ABD и ACD равны S0 , S1 , S2 и S3 соответственно. Тогда S02=S12+S22+S32 .
Спроектируем пирамиду ортогонально сначала на плоскость ABC , затем на плоскости ABD , ACD и BCD (рис.). Обозначим углы, образуемые гранями ABC , ABD и ACD с гранью BCD через α1 , α2 и α3 . Тогда по теореме о площади ортогональной проекции многоугольника Si=S0· cosαi ( i=1,2,3 ), S0=S1 cosα1+S2 cosα2+S3 cosα3 , поэтому cos2α1+ cos2α2+ cos2α3=1 и S02=S12+S22+S32 . Лемма 1 доказана.
Рассмотрим четырехугольную пирамиду EABCD ( ABCD – прямоугольник), лежащую на горизонтальной плоскости гранью EAB (рис.). Такую пирамиду назовем клином с основанием EAB , а расстояние от прямой CD до плоскости EAB назовем высотой клина. Пусть площадь основания клина EABCD равна , а его высота равна H .
Лемма 2. Объем клина равен двум третям произведения площади его основания на высоту, т.е. V=
Разобьем клин на две пирамиды DEAB и DEBC . Их объемы равны, так как SABD=SBCD и расстояние от точки E до их оснований одно и то же. Поэтому V=2VDEAB=
Лемма 3. На горизонтальной плоскости стоят два тетраэдра ( или два клина ) с равными высотами и равными площадями оснований. Тогда их сечения плоскостью, параллельной основаниям, имеют равные площади.
В случае тетраэдров (рис) из подобия получаем, что
Докажем теперь существование точек M и M1 . Если AM=xc , а A1M1=xc1 , где x
Заметим, что f(0)=a2b2-a12b12=
Рассмотрим два новых прямоугольных параллелепипеда: один с ребрами
Осталось доказать, что описанное выше расположение параллелепипедов удовлетворяет условию. Ясно, что в силу симметрии параллелепипедов относительно своих центров, достаточно проверить это утверждение для их половинок, т.е. призм ABDA'B'D' и A1B1D1A'1B'1D'1 . Для пирамид MABD и M1A1B1D1 справедливость его следует из леммы3.
Проведем плоскость A'FE|| MBD (рис) и плоскость A'1F1E1|| M1B1D1 . Эти плоскости отсекают от призм клинья A'B'D'FE и A'1B'1D'1F1E1 равного объема, так как (в силу леммы 2)
Так как площади оснований и объемы клиньев равны, то равны и их высоты, поэтому в силу леммы 3 утверждение справедливо и для клиньев.
Остается заметить. что призмы MBDA'EF и M1B1D1A'1E1F1 имеют равные площади оснований и равные объемы (а, следовательно, и равные высоты), поэтому площади их сечений любой горизонтальной плоскостью равны.
Аналогичное утверждение для произвольных фигур равного объема, вообще говоря, неверно (см. также задачу 10.6 и замечания к ней).
В условии задачи можно отказаться от прямоугольности параллелепипедов. Утверждение при этом остается справедливым. Кроме того, оно справедливо для произвольных равновеликих тетраэдров, однако известное доказательство этого факта неэлементарно.
