ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109484
Темы:    [ Смешанные уравнения и системы уравнений ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Показательные уравнения ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений  4x – 4x = 2 cos ax,  4x + 4x = 2 cos ax + 4  равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?


Решение

  Преобразуем второе уравнение:
4x + 4x = 2 cos ax + 4   ⇔   4x – 2 + 4x = 2(1 + cos ax) ⇔ (2x – 2x)2 = 4cos2 ax/2)   ⇔

  Оба уравнения этой совокупности сводятся к первому уравнению из условия задачи заменами  x = 2y  и  x = – 2z  соответственно. Поэтому каждое из этих двух уравнений имеет 2007 корней. Если эти уравнения имеют общий корень  x = x0,  то  4x0/2 – 4x0/2 = 0  и  cos ax0/2 = 0,  что невозможно. Следовательно, эти уравнения не имеют общих корней, а второе уравнение из условия имеет  2·2007 = 4014  корней.


Ответ

4014.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 70
Год 2007
вариант
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .