ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108679
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырёхугольник ABMC , в котором AB=BC , BAM = 30o , ACM= 150o . Докажите, что AM – биссектриса угла BMC .

Решение



Пусть B' образ вершины B при симметрии относительно прямой AM . Поскольку AB'=AB и BAM = 30o , то ABB' – равносторонний треугольник. Поэтому ABB' = 60o . Поскольку BA=BB'=BC , точки A , B' и C лежат на окружности с центром B . Вписанный в эту окружность угол ACB' равен половине соответствующего центрального угла ABB' , т.е.

ACB' = ABB' = 30o,

а т.к. ACM = 150o , то точка B' лежит на прямой CM . Луч MB' (а значит, и луч MC ) симметричен лучу MB относительно прямой AM . Следовательно, MA – биссектриса угла BMC .

Опишем окружность около треугольника ACM . Пусть O – её центр. Поскольку ACM = 150o , то дуга AM этой окружности, не содержащая точки C , равна 300o . Поэтому дуга ACM равна 60o . Значит, AOM = 60o и треугольник AOM – равносторонний. Поскольку OAM = 60o , а BAM = 30o , то AB – биссектриса угла OAM . Тогда треугольники AOB и AMB равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AOB = AMB . Треугольники AOB и COB равны по трём сторонам, поэтому AOB= COB . Значит,
AMB = AOB = AOC.

С другой стороны, поскольку AOC – центральный угол, а AMC – вписанный, то AMC = AOC . Следовательно, AMC = AMB , т.е. MA – биссектриса угла BMC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6204
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 56
Год 1993
вариант
Класс 9
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .