Задача 108620

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CD. Различные точки F и G на стороне AC таковы, что DF || BC и EG || AB. Докажите, что точки D, E, F и G лежат на одной окружности.

Решение

Пусть точка F расположена между точками A и G (рис.1). Тогда

EGC = BAC = BED = EDF,
а т.к. FGE = 180^o - EGC , то EDF + EGF = 180^o . Следовательно, четырёхугольник DEGF – вписанный, т.е. точки D , E , F и G лежат на одной окружности. Если же точка G расположена между точками A и F (рис.2), то рассуждая аналогично, докажем, что из точек D и G , лежащих по одну сторону от прямой EF , отрезок EF виден под одним и тем же углом. Следовательно, и в этом случае точки D , E , F и G лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4436