ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 108604
УсловиеНа сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки P, M и K так, что отрезки AM, BK и CP пересекаются в одной точке и Докажите, что P, M и K – середины сторон треугольника ABC. РешениеЗаметим (рис. слева), что Это значит, что из отрезков AK, CM и BP можно составить треугольник, подобный данному. Следовательно, стороны делятся в одном и том же отношении. Первый способ. По теореме Чевы (см. задачу 53856) это возможно, только когда это отношение равно 1. Второй способ. Пусть Обозначим через G точку пересечения медиан AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC (рис. справа). Предположим, что p < ½. Тогда точка пересечения отрезков AM и BK лежит внутри треугольника AB1G, а точка пересечения отрезков CP и BK – внутри треугольника BC1G, что невозможно (эти точки совпадают по условию). Аналогично отвергается случай p > ½. Следовательно, p = ½. Замечаниябаллы: 8 Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|