Задача 108190
|
|
 |
Условие
Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B . Окружность, проходящая через точки O1 , O2 и A , вторично пересекает окружность S1 в точке D , окружность S2 – в точке E , а прямую AB – в точке C . Докажите, что CD=CB=CE .Решение
Лемма. Если из точки P , лежащей вне окружности с центром O , проведены к окружности две секущие PXY и PZT под равными углами к PO , причём точка X лежит между P и Y , а точка Z – между P и T , то PX=PZ (рис.1).Доказательство.При симметрии относительно прямой PO окружность переходит в себя, луч PT переходит в луч PY , а точка Z , лежащая и на окружности, и на луче PT между точками P и T , – в точку X . Следовательно, PX=PZ .
Рассмотрим нашу задачу (рис.2). Поскольку вписанные углы DCO1 и ACO1 окружности, проходящей через точки O1 , O2 и A , опираются на равные хорды O1D и O1A (радиусы окружности S1 ), то
тогда по доказанной лемме CD=CB . Аналогично, CB=CE .
