Задача 108171

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники ] [ Три окружности пересекаются в одной точке ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Центр O описанной окружности четырёхугольника ABCD не лежит на диагоналях этого четырёхугольника. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые AD и BC – в точке F.
  а) Докажите все шесть описанных окружностей треугольников ABF, CDF, BEC, ADE, BOD и AOC пересекаются в некоторой точке K.
  б) Верно ли, что точка K лежит на прямой EF, а прямые EF и OK перпендикулярны?

Решение

  Для определённости будем считать, что точка E лежит на продолжениях отрезков AB и DC за точки B и C, а точка F – на продолжениях AD и BC за точки D и C.

  а) Описанные окружности треугольников ABF, CDF, BEC и ADE проходят через общую точку K – точку Микеля (см. задачу 56628 а).
  Заметим, что BCD – внешний угол треугольника BCE, а CBE – внешний угол треугольника ABF, поэтому  ∠ BCD > ∠CBE > BAD.  Значит, точка O лежит внутри треугольника ABD. Тогда четырёхугольник BODK – выпуклый. Докажем, что он вписанный (это будет означать, что описанная окружность треугольника BOD проходит через точку K). Действительно,
   

 

где все дуги являются соответствующими дугами окружности с центром O.
  Аналогично точка K лежит и на описанной окружности треугольника AOC.

  б)  ∠CKE + ∠CKF = (180° – ∠CBE) + (180° – ∠CDF) = ∠ABC + ∠CDA = 180°.  Значит, точка K лежит на прямой EF.
  Рассмотрим описанную окружность четырёхугольника OBKD. Вписанные в неё углы OKB и OKD опираются на равные хорды OB и OD, поэтому
∠OKB = ∠OKD.  Значит,  ∠BKE = ∠BCE = ∠DCF = ∠DKF.  Отсюда  ∠OKE = ∠OKB + ∠BKE = ∠OKD + ∠DKF = ∠OKF.  Следовательно,  OK ⊥ EF.

Ответ

б) Верно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6518