Задача 108147

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC биссектриса угла между высотами AA₁ и CC₁ пересекает стороны AB и BC в точках P и Q соответственно. Биссектриса угла B пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр H треугольника ABC с серединой M стороны AC в точке R. Докажите, что точки P, B, Q и R лежат на одной окружности.

Решение

  Пусть перпендикуляр, восставленный к стороне AB в точке P, пересекает высоту AA₁ в точке S, а перпендикуляр, восставленный к стороне BC в точке Q, пересекает высоту CC₁ в точке T. Если K – точка пересечения этих перпендикуляров, то точки P и Q лежат на окружности с диаметром BK. Утверждение задачи равносильно тому, что точка K совпадает с R (см. рис.).

  Поскольку  ∠BPQ = ∠C₁PH = 90° – ∠C₁HP = 90° – ∠CHQ = 90° – ∠AHQ = ∠A₁QH = ∠BQP,  то треугольник PQB – равнобедренный:  BP = BQ.  Из равенства прямоугольных треугольников BPK и BQK следует, что точка K лежит на биссектрисе угла B. Осталось доказать, что точка K лежит на прямой HM.
  Действительно, треугольник PHC₁ подобен треугольнику QHA₁, треугольник AHC₁ – треугольнику CHA₁, а треугольник PHS – треугольнику THQ, поэтому  HS : HT = PH : HQ = CH₁ : HA₁ = AH : HC.
  Значит,  ST || AC.  Поэтому медиана HM треугольника AHC проходит через середину O отрезка ST, а так как O – точка пересечения диагоналей параллелограмма HTKS, то точка K лежит на прямой HO, а значит, на прямой HM.
  Следовательно, K – точка пересечения прямой MH с биссектрисой угла B, а значит, совпадает с точкой R.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6497
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	00.5.10.3