|
|
 |
Условие
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Точки P и Q
симметричны точке C относительно прямых AB и AD
соответственно.
Докажите, что прямая PQ проходит через ортоцентр H треугольника ABD.
Подсказка
См. задачу 55463.
Решение
Докажем, что утверждение верно для любой точки C на описанной окружности Ω треугольника ABD. Если угол A прямой, утверждение очевидно: точка H = A – середина отрезка PQ.
Если угол A не прямой, пусть точка C движется по окружности Ω по часовой стрелке с угловой скоростью ω. Тогда точка P движется с той же угловой скоростью против часовой стрелки по окружности Ω', симметричной Ω относительно AB. Согласно задаче 55463 точка H лежит на окружности Ω'. Поскольку вписанный угол в два раза меньше центрального, прямая PH вращается против часовой стрелки вокруг точки H с угловой скоростью ω/2. То же верно для прямой QH.
Когда точка C совпадает с A, прямые PH и QH, очевидно, совпадают. Значит, они совпадают всегда, что и требовалось.
