ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107989
Темы:    [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При разложении чисел A и B в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа  A + B?


Решение

  Как известно, длина минимального периода дроби является делителем длины любого другого ее периода, (длину минимального периода конечной десятичной дроби мы будем считать равной единице).
  Лемма. Если k – длина одного из периодов (не обязательно минимального) каждой из дробей A и B, то k будет длиной некоторого периода дробей  A + B  и  A – B.
  Доказательство. Периодическую дробь A с длиной периода k можно представить в виде  A = , где X – целое число. Аналогично
B = .  Без ограничения общности можно считать, что  l ≥ m.  Тогда  A + B = .  Это число такого же вида, так что соответствующая дробь имеет период длины k.
  Доказательство для  A – B аналогично.

  Пусть дробь A имеет период длины 6, а дробь B – период длины 12. Из леммы следует,что 12 – длина некоторого периода дроби  A + B.  Значит, длина минимального периода дроби  A + B является делителем числа 12.
  С другой стороны, длина периода дроби  A + B  не может равняться 6 - иначе дробь  B = (A + B) – A  имела бы период длины 6. Значит, длина минимального периода дроби  A + B  не может равняться 6, 3, 2 и 1.
  Остаются два варианта: 12 и 4. Покажем, что оба эти варианта возможны:
A = 0,(000001),  B = 0,(000000000001),  A + B = 0,(000001000002);
A = 0,(000001),   B = 0,(011100110110),  A + B = 0,(0111).

Замечания

1. Чтобы получить пример дробей с длинами минимальных периодов 6 и 12, сумма которых имеет минимальный период длины 4 достаточно из любой дроби с минимальным периодом длины 4 вычесть дробь с минимальным периодом длины 6: получим дробь с минимальны периодом длины 12.

2. Опишем все возможные длины минимальных периодов дроби  A + B  в общем случае. Пусть m, n и k – длины минимальных периодов дробей A, B и
A + B.  Тогда k является делителем  НОК(m, n).  Аналогично, m – делитель  НОК(n, k),  и n – делитель  НОК(m, k).  Пусть p1, ..., ps – все простые делители  НОК(m, n),  причём     где αi, βj могут равняться нулю. Тогда     где   γi = max {αi, βi},  при  αi ≠ βi  и γi – любое число от 0 до αi, при αi = βi. Можно показать и обратное: любое такое k является длиной минимального периода некоторой дроби  A + B,  где длина минимального периода дроби A равна m, а длина минимального периода дроби B равна n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 56
Год 1993
вариант
Класс 10
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .