Задача 107857

Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Уравнения в целых числах ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Авторы: Анисов С.С., Произволов В.В.

Пусть a, b, c – такие целые неотрицательные числа, что   28a + 30b + 31c = 365.  Докажите, что  a + b + c = 12.

Решение

  Пусть  a + b + c ≤ 11.  Тогда  28a + 30b + 31c ≤ 31(a + b + c) ≤ 11·31 = 341 < 365.  Противоречие.
  Пусть  a + b + c ≥ 14.  Тогда  28a + 30b + 31c ≥ 28(a + b + c) ≥ 28·14 = 392 > 365.  И этого быть не может!
  Пусть  a + b + c = 13.  Вариант  a = 13,  b = c = 0  не удовлетворяет условию:  28·13 + 30·0 + 31·0 = 364 ≠ 365.  Остаётся вариант  a + b + c = 13,  a < 13.  В этом случае  b + c > 0  и  28a + 30b + 31c = 28(a + b + c) + 2b + 3c ≥ 28·13 + 2(b + c) ≥ 364 + 2 > 365.

Замечания

См. также задачу 107845.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	61
Год	1998
вариант
Класс	10
задача
Номер	1