ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105093
Темы:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
[ Кубические многочлены ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?


Решение

Многочлен  P(x) = x³ – x² – x – 1  имеет корень  t > 1,  поскольку  P(1) < 0,  а  P(2) > 0.  Тогда  t³ = t² + t + 1 > t² + t.  Возьмём длины палочек равными t³, t², t. После первого отпиливания получим палочки с длинами t², t, 1. Так как отношение длин не изменилось, процесс будет продолжаться бесконечно.


Ответ

Может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 63
Год 2000
вариант
Класс 11
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .