|
|
 |
Условие
Гриша записал в клетки шахматной доски числа 1, 2, 3, ..., 63, 64 в некотором порядке. Он сообщил Лёше только сумму чисел в каждом прямоугольнике из двух клеток и добавил, что 1 и 64 лежат на одной диагонали. Докажите, что по этой информации Лёша может точно определить, в какой клетке какое число записано.
Решение
Пусть у Лёши есть достаточный запас доминошек 1×2. Если он
положит на доску две доминошки, так чтобы они перекрывались ровно по одной
клетке, то, вычтя из суммы чисел под одной доминошкой сумму чисел под другой, он узнает разность чисел, накрытых ровно одной доминошкой (эти числа записаны в
клетках одного цвета). Третью доминошку нужно положить так, чтобы одна её
половина накрывала одно из этих двух чисел, а вторая – ещё не покрытую клетку. Складывая ранее полученную разность с суммой чисел под новой доминошкой, Лёша получит сумму тех двух чисел, которые покрыты ровно одной из трёх доминошек (эти числа записаны в клетках разного цвета). Так, добавляя всё новые и новые доминошки, можно построить цепочку, соединяющую любые две клетки доски, и, если эти клетки одного цвета, узнать их разность, а если разного – их сумму.
Числа 1 и 64 расположены в клетках одного цвета. Их разность равна 63, а разность любых двух других натуральных чисел между 1 и 64 меньше 63. Поэтому Лёша может определить, в каких клетках записаны 1 и 64. Он пока не знает только, в какой из этих клеток какое число записано. Зато он знает сумму числа в каждой из этих двух клеток с некоторым числом, записанным в клетке другого цвета. Для клетки с числом 1 все эти суммы не превосходят 64, а для клетки с числом 64 – не меньше 66. Так что Лёша может определить, где именно записано 64. Теперь, зная сумму (или разность) числа 64 с числом в каждой другой клетке, Лёша легко определит, где какое число записано.
