ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105079
Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Деление с остатком ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.


Решение

  Разобьём данные 23 числа на восемь групп из стоящих подряд чисел: три группы по пять чисел и четыре группы по два числа. Каждую группу заключим в скобки, а между группами расставим знаки умножения. Если расставить знаки внутри каждой группы так, чтобы результат операций в группе из двух чисел делился на 2, а в группе из пяти чисел – на 5, то всё выражение будет делиться на  24·5³ = 2000.
  Покажем, что такая расстановка знаков в группах существует. Если числа в группе из двух чисел разной чётности, то между ними нужно поставить знак умножения, если одинаковой чётности – сложения. Результат, очевидно, будет чётен.
  Рассмотрим группу из чисел a1, a2, a3, a4, a5, идущих именно в таком порядке. Согласно решению задачи 103964 среди них найдётся насколько идущих подряд, сумма которых делится на 5. Расставим знаки сложения между числами, входящими в эту сумму  ai + ... + aj,  саму сумму (если требуется) заключим в скобки, а все оставшиеся промежутки между числами группы заполним знаками умножения.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 63
Год 2000
вариант
Класс 9
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .