Задача 102702

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки подобия ] [ Обыкновенные дроби ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC с углом B, равным 50°, и стороной  BC = 3  на высоте BH взята такая точка D, что  ∠ADC = 130°  и  AD = .
Найдите угол между прямыми AD и BC, а также угол CBH.

Подсказка

Пусть точка D' симметрична точке D относительно прямой AC. Тогда около четырёхугольника ABCD' можно описать окружность.

Решение

  Пусть точка D' симметрична точке D относительно прямой AC. Тогда  ∠B + ∠AD'C = ∠B + ∠ADC = 180°.  Значит, четырёхугольник ABCD' – вписанный.
  Согласно задаче 55463 D – ортоцентр треугольника ABC. Следовательно,  AD ⊥ BC.
  Из подобия прямоугольных треугольников AHD и BHC следует, что  AH : BH = AD : BC = : 3.  Значит,  ∠ABH = 30°.  Следовательно,
∠CBH = ∠B – ∠ABH = 50° – 30° = 20°.

Ответ

90°, 20°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4149