В вершинах правильного девятиугольника расставляют числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, после чего на каждой диагонали пишут произведение чисел, стоящих на её концах. Можно ли так расставить числа в вершинах, чтобы все числа на диагоналях были разные?

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Можно ли уместить два точных куба между соседними точными квадратами?
Иными словами, имеет ли решение в целых числах неравенство:  n² < a³ < b³ < (n + 1)²?

Решение

Заметим, что  n² < a⁴,  то есть  n < a².  Значит, даже  (a + 1)³ > a³ + 2a² + 1 > n² + 2n + 1 = (n + 1)².

Ответ

Нельзя.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования