ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]      



Задача 61310

Темы:   [ Итерации ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Что останется от прямоугольника? Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны a и b которого находятся в пропорции золотого сечения, то есть удовлетворяют равенству a : b = b : (a - b). Представим, что такой прямоугольник вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка прямоугольника за исключением одной, будет раньше или позже отсечена. Определите положение этой исключительной точки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61328

Темы:   [ Итерации ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f (x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле

xn + 1 = xn - $\displaystyle {\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$,

(начальное условие x0 следует выбирать поближе к искомому корню).
Докажите, что для функции f (x) = x2 - k и начального условия x0 > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к $ \sqrt{k}$, то есть $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$xn = $ \sqrt{k}$.
Как будет выражаться xn + 1 через xn? Сравните результат с формулой из задачи 9.48.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105163

Темы:   [ Итерации ]
[ Многочлены (прочее) ]
[ Предел функции ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дан многочлен P(x) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел  a1, a2, ...,  такая, что  P(a1) = 0,  P(a2) = a1P(a3) = a2  и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности  a1, a2, ...  различны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109857

Темы:   [ Итерации ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дан квадратный трёхчлен  f(x) = x² + ax + b.  Уравнение  f(f(x)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  b ≤ – ¼.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61296

Тема:   [ Итерации ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет $ {\frac{2}{3}}$ л и $ {\frac{1}{3}}$ л с точностью до 1 миллилитра.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .