Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 143]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина меньшей дуги $BC$ описанной окружности. Окружность $\omega$ касается сторон $AB$, $AC$ в точках $P$, $Q$ соответственно и проходит через точку $M$. Докажите,что $BP+CQ=PQ$.
На продолжениях сторон
CA и AB треугольника ABC за точки A и B соответственно
отложены отрезки AE = BC и BF = AC. Окружность касается отрезка
BF в точке N, стороны BC и продолжения стороны AC за точку
C. Точка M – середина отрезка EF. Докажите, что прямая MN
параллельна биссектрисе угла A.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Пусть $I$ – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Докажите, что существует единственная пара точек $M$, $N$, лежащих соответственно на сторонах $AC$, $BC$, такая, что $\angle AIM = \angle BIN$ и $MN \parallel AB$.
Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон CA и AB в точках B1 и C1, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках B2 и C2. Докажите, что середина стороны BC равноудалена от прямых B1C1 и B2C2.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Пусть A1 и C1 – точки касания вписанной окружности со сторонами BC и AB соответственно, а A' и C' – точки касания вневписанной окружности треугольника, вписанной в угол B, с продолжениями сторон BC и AB соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника ABC лежит на A1C1 тогда и только тогда, когда прямые A'C1 и BA перпендикулярны.
Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 143]
Фильтр
