ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 32]      



Задача 115782

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Экстремальные свойства (прочее) ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

В угол A, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках B и C. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке M, пересекает отрезки AB и AC в точках Р и Q соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство SPAQ < SBMC?

Прислать комментарий     Решение

Задача 105192

Темы:   [ Двоичная система счисления ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Экстремальные свойства (прочее) ]
Сложность: 7
Классы: 10,11

Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника, причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы.

а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только из этой бойницы, надежна?

б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы больше 1/2.

в) Докажите, что для любого числа s>1/2 существует надёжная система бойниц с суммарной длиной, меньшей s.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 32]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .