Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      

На плоскости проведены n прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая n-звенная несамопересекающаяся ломаная A₀A₁A₂...A_n, что на каждой из n прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости расположено несколько прямых и точек. Доказать, что на плоскости найдётся точка A, не совпадающая ни с одной из данных точек, расстояние от которой до любой из данных точек больше расстояния от неё до любой из данных прямых.

Прислать комментарий

Решение

Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных на окружности, в 17 цветов. Затем Коля проводит хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих точек (в том числе и общих концов). При этом Коля хочет провести как можно больше хорд, а Петя старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля?

Прислать комментарий

Решение

Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?

Прислать комментарий

Решение

На прямой выбрано 100 множеств A₁, A₂, .. , A100 , каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A₁, A₂, .. , A100 является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]