Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108096

Темы:   [ ГМТ с ненулевой площадью ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Точки A и B, лежащие на окружности разбивают её на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугах AB.

Решение

Пусть K – произвольная точка внутри данной окружности. Хорда, серединой которой является K, перпендикулярна OK. Поэтому она пересекает отрезок AB тогда и только тогда, когда один из углов OKA, OKB не острый, а другой – не тупой (см. рис. слева). Следовательно, искомое множество состоит из точек, лежащих внутри или на границе одного из кругов с диаметрами OA, OB и вне или на границе другого (рис. справа).

Прислать комментарий

---

Задача 57168

Тема:   [ ГМТ с ненулевой площадью ]

Сложность: 4 Классы: 9

На плоскости даны два непересекающихся круга. Обязательно ли найдется точка M, лежащая вне этих кругов, удовлетворяющая такому условию: каждая прямая, проходящая через точку M, пересекает хотя бы один из этих кругов?
Найдите ГМТ M, удовлетворяющих такому условию.

Решение

Проведем общие касательные к данным кругам (рис.). Легко проверить, что точки, принадлежащие заштрихованным областям (но не их границам), удовлетворяют требуемому условию, а точки, не лежащие в этих областях, не удовлетворяют этому условию.

Прислать комментарий

---

Задача 78035

Темы:   [ ГМТ с ненулевой площадью ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух различных непересекающихся окружностях, лежащих одна вне другой.

Решение

Пусть S₁ и S₂ — данные окружности, O₁ и O₂ — их центры. Рассмотрим окружность S₂', которая получается из окружности S₂ переносом на вектор ; центр этой окружности совпадает с центром окружности S₁. Пусть A₁ — точка окружности S₁, A₂ и A₂' -- точки окружностей S₂ и S₂', соответствующие друг другу. Если M — середина отрезка A₁A₂, а M' — середина отрезка A₁A₂', то = . Поэтому можно рассмотреть случай, когда даны две концентрические окружности: полученное ГМТ нужно просто сдвинуть на вектор . Пусть O — общий центр двух окружностей радиусов R и r, причём Rr. Фиксируем на окружности радиуса r точку A и рассмотрим середины всех отрезков AB, где точка B перемещается по окружности радиуса R. Они образуют окружность, причём её сама близкая к O точка находится на расстоянии , а самая далёкая — на расстоянии . Если точка A будет двигаться по всей окружности, то мы получим кольцо с внутренним радиусом и внешним радиусом (если R = r, то получается не кольцо, а круг).

Прислать комментарий

---

Задача 78495

Темы:   [ ГМТ с ненулевой площадью ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найти множество центров тяжести всех остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.

Решение

  Пусть O – центр описанной окружности, а M – центр тяжести остроугольного треугольника ABC, A₁ – середина BC. Отложим на луче OM отрезок  OH = 3OM.  Тогда треугольники OMA₁ и HMA подобны по первому признаку  (OM : MH = MA₁ : MA = 1 : 2,  ∠OMA₁ = ∠HMA).  Значит,  ∠OA₁M = ∠HAM.  Поэтому   OA₁ || AH,  а значит, AH – высота. Аналогично доказывается, что BH и CH – высоты, то есть H – точка пересечения высот треугольника ABC. В остроугольном треугольнике точка H должна лежать внутри него. Поэтому  OH < R,  следовательно,  OM = ⅓ OH < ^R/₃. Таким образом, всё искомое ГМТ содержится во внутренности круга радиуса ^R/₃ с центром в точке O.
  Докажем, что каждая точка внутренности упомянутого круга является центром тяжести некоторого остроугольного треугольника, вписанного в данную окружность. В самом деле, если M совпадает с O, то подходит правильный треугольник. Если же M лежит строго внутри круга радиуса ^R/₃ и не совпадает с O, то возьмём в качестве вершины A точку пересечения луча MO с данной окружностью, построим точку A₁ так, что A₁ лежит на продолжении отрезка AM за точку M и  MA₁ = ½ MA,  затем проведём через точку A₁ прямую BC, перпендикулярную AA₁. Треугольник ABC будет остроугольным, так как его точка пересечения высот H будет лежать внутри него.

Ответ

Внутренность круга радиуса ^R/₃ с центром в центре исходной окружности.

Прислать комментарий

---

Задача 66662

Тема:   [ ГМТ с ненулевой площадью ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

На плоскости даны прямая $l$ и точка $A$ вне ее. Найдите геометрическое место инцентров остроугольных треугольников с вершиной $A$, у которых одна сторона лежит на прямой $l$.

Решение

Пусть $H$ – проекция $A$ на $l$. Так как треугольник остроугольный, его инцентр $I$ и одна из его вершин, например $B$, лежат по разные стороны от прямой $AH$. Поэтому расстояние от $I$ до $AH$ меньше, чем до $AB$. Но последнее расстояние равно радиусу $r$ вписанной окружности, т.е. расстоянию от $I$ до $l$. Следовательно, $I$ лежит внутри прямого угла, образованного биссектрисами углов между $AH$ и $l$. Очевидно также, что $r < AH/2$, т.е. $I$ лежит внутри полосы, ограниченной $l$ и серединным перпендикуляром к $AH$. Наконец, поскольку угол $A$ острый, то $AI = \frac{r}{\sin\angle A/2} > r \sqrt{2}$, поэтому $I$ лежит между ветвями равносторонней гиперболы с фокусом $A$ и директрисой $l$. С другой стороны, для любой точки, удовлетворяющей перечисленным условиям, можно построить окружность с центром в этой точке, касающуюся $l$, провести к ней касательные из точки $A$ и получить остроугольный треугольник. Таким образом, искомое ГМТ – это внутренность области, ограниченной биссектрисами углов между $l$ и $AH$, серединным перпендикуляром к $AH$ и соответствующей ветвью гиперболы.

Прислать комментарий

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями