Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности.
  а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения.
  б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.

   Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 841]      

Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший 45^o. Доказать. (Сравните с задачей 2 для 10 класса.)

Прислать комментарий

Решение

Окружности O₁ и O₂ лежат внутри треугольника и касаются друг друга извне, причём окружность O₁ касается двух сторон треугольника, а окружность O₂ -- тоже касается двух сторон треугольника, но не тех же, что O₁. Доказать, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса окружности, вписанной в треугольник.

Прислать комментарий

Решение

На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Доказать, что на этой окружности можно найти такую точку, чтобы сумма расстояний от неё до всех отмеченных точек была больше 100.

Прислать комментарий

Решение

Внутри круга радиуса 1 м расположены n точек. Доказать, что в круге или на его границе существует точка, сумма расстояний от которой до всех точек не меньше n метров.

Прислать комментарий

Решение

Из отрезков, имеющих длины a, b и c, можно составить треугольник. Доказать, что из отрезков с длинами , , также можно составить треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 841]