ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      



Задача 78079

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66383

Темы:   [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Два квадрата и равнобедренный треугольник расположены так, как показано на рисунке (вершина K большого квадрата лежит на стороне треугольника). Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64701

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась такая точка P, что прямые BP и CP делят пополам отрезки AC и BD соответственно. Докажите, что  AB = CD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78082

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4-
Классы: 9

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на двух диагоналях, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно любой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в любой строке меньше 518.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98003

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
[ Параллелограммы (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
    1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
    2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
  а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
  б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .