Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 160]      

Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках С₁, С₂, сторону BС – в точках A₁, A₂, сторону СA – в точках B₁, B₂. Известно, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С₁, B₁, A₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С₂, B₂, A₂, также пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что  ∠MKN = 90°.  (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A).

Прислать комментарий

Решение

На отрезке AB дано n пар точек, симметричных относительно его середины; n точек окрашено в синий цвет, остальные — в красный. Докажите, что сумма расстояний от A до синих точек равна сумме расстояний от B до красных точек.

Прислать комментарий

Решение

Даны четыре попарно непараллельные прямые и точка O, не лежащая на этих прямых. Постройте параллелограмм с центром O и вершинами, лежащими на данных прямых, — по одной на каждой.

Прислать комментарий

Решение

а) В треугольник ABC вписаны треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ так, что  C₁A₁ ⊥ BC,  A₁B₁ ⊥ CA,  B₁C₁ ⊥ AB,  B₂A₂ ⊥ BC,  C₂B₂ ⊥ CA,
A₂C₂ ⊥ AB.  Докажите, что эти треугольники равны.

б) Внутри треугольника ABC взяли точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ так, что A₁ - на отрезке AB₁, B₁ - на отрезке BC₁, C₁ – на отрезке CA₁, A₂ – на отрезке AC₂, B₂ – на отрезке BA₂, C₂ – на отрезке CB₂ и углы BAA₁, CBB₁, ACC₁, CAA₂, ABB₂, BCC₂ равны. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 160]