Страница:
<< 1 2
3 >> [Всего задач: 11]
Три равные окружности радиуса
R пересекаются в точке
M .
Пусть
A ,
B и
C – три другие точки их попарного пересечения.
Докажите, что:
а) радиус окружности, описанной около треугольника
ABC ,
равен
R ;
б)
M – точка пересечения высот треугольника
ABC .
Три равные окружности пересекаются так, как
показано на рис.,
а или
б. Докажите, что
AB1 +
BC1±
CA1 = 180
o, где знак минус берется в случае
б.
Три окружности одного радиуса проходят через
точку
P;
A,
B и
Q — точки их попарного пересечения.
Четвертая окружность того же радиуса проходит через точку
Q и
пересекается с двумя другими в точках
C и
D. При этом
треугольники
ABQ и
CDP остроугольные, а четырехугольник
ABCD
выпуклый (рис.). Докажите, что
ABCD — параллелограмм.
Даны две единичные окружности ω1 и ω2, пересекающиеся в точках A и B. На окружности ω1 взяли произвольную точку M, а на окружности ω2 точку N. Через точки M и N провели ещё две единичные окружности ω3 и ω4. Обозначим повторное пересечение ω1 и ω3 через C, повторное пересечение окружностей ω2 и ω4 – через D. Докажите, что ACBD – параллелограмм.
Центры
O1 ,
O2 и
O3 трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в
вершинах треугольника. Из точек
O1 ,
O2 и
O3 проведены касательные к данным окружностям
так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый
шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма
длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.
Страница:
<< 1 2
3 >> [Всего задач: 11]