ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 149]
Серёжа придумал фигуру, которую легко разрезать на две части и сложить из них квадрат (см. рис.). РешениеПример изображён на рис. (важно, что режем не по клеточкам).
РешениеДва возможных решения приведены на рисунке:ОтветДа, можно.
Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация. Решение Достаточность. Равнобедренный треугольник можно разрезать по медиане на два равных прямоугольных треугольника, а прямоугольный – по медиане, проведённой к гипотенузе, на два равнобедренных. Если каждый из них разрезать на два равных треугольника, получим четыре равных прямоугольных треугольника. Аналогично, превратим каждый из них в четыре меньших равных прямоугольных треугольника и т.д. ОтветРавнобедренные или прямоугольные.
РешениеВ решении задачи 79618 доказано, что изюминку можно отрезать тогда и только тогда, когда её можно отрезать за один разрез. Следовательно, изюминку, стоящую в центре квадратного торта, отрезать нельзя.Ответнельзя.
а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно. б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно. Решениеа) Сторона квадрата сложена из отрезков длины 3, 4, 5, поэтому её длина a – целое число. Площадь треугольника равна 6, следовательно, число треугольников k = a²/6. Отсюда a чётно, a² делится на 4 и k чётно. б) Периметр каждого треугольника равен 3 + . Подсчитаем сумму периметров всех треугольников двумя способами. Во-первых, она равна k(3 + ), где k – число треугольников. Во-вторых, каждая сторона треугольника лежит либо на стороне прямоугольника, либо на одном из разрезов. Так как к каждому разрезу треугольники приставлены с двух сторон, то сумма периметров всех треугольников равна периметру прямоугольника плюс удвоенная сумма длин разрезов. Длина каждого разреза и длины сторон прямоугольника имеют вид p + q, где p и q – целые. Отсюда k(3 + ) = 2m + 2n (m, n целые). Значит, 3k = 2m и k чётно.
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 149] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|