Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]
Докажите, что точка Лемуана треугольника
ABC
с прямым углом
C является серединой высоты
CH.
Через точку
X, лежащую внутри треугольника
ABC,
проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти
отрезки равны тогда и только тогда, когда
X — точка Лемуана.
Точки
A1 и
A2,
B1 и
B2,
C1 и
C2 лежат на сторонах
BC,
CA,
AB треугольника
ABC.
а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон
треугольника
ABC с продолжениями сторон треугольника
A'B'C', полученного из
треугольника
ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана
K, то
точки
A1,
B2,
B1,
C2,
C1,
A2 лежат на одной окружности
(
окружность Тукера).
б) Докажите, что если отрезки
A1B2,
B1C2 и
C1A2 равны и
антипараллельны сторонам
AB,
BC и
CA, то
точки
A1,
B2,
B1,
C2,
C1,
A2 лежат на одной окружности.
Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой
KO, где
K — точка
Лемуана,
O — центр описанной окружности.
а) Через точку Лемуана
K проведены прямые, параллельные сторонам
треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника
лежат на одной окружности (
первая окружность Лемуана)
.
б) Через точку Лемуана
K проведены прямые, антипараллельные сторонам
треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника
лежат на одной окружности (
вторая окружность Лемуана).
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]