Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 162]
На клетчатой доске из 2012 строк и k > 2 столбцов в какой-то клетке самого левого столбца стоит фишка. Двое ходят по очереди, за ход можно передвинуть фишку вправо, вверх или вниз на одну клетку, при этом нельзя передвигать фишку на клетку, в которой она уже побывала. Игра заканчивается, как только один из игроков передвинет фишку в самый правый столбец. Но будет ли такой игрок выигравшим или проигравшим – сообщается игрокам только в тот момент, когда фишка попадает в предпоследний столбец (второй справа). Может ли один из игроков обеспечить себе выигрыш?
|
|
Сложность: 3+ Классы: 7,8,9
|
В средней клетке полоски 1×2005 стоит фишка.
Два игрока по очереди сдвигают ее: сначала первый игрок передвигает фишку на одну клетку в любую
сторону, затем второй передвигает ее на 2 клетки, 1-й – на 4 клетки, 2-й – на 8 и т.д.
(
k-й сдвиг происходит на
2
k-1 клеток).
Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает.
Кто может выиграть независимо от игры соперника?
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10
|
Страна Фарра расположена на
1 000 000 000 островов. Между некоторыми
островами каждый день курсируют пароходы. Маршруты пароходов устроены так, что
с каждого острова можно попасть на любой другой (возможно, за несколько дней).
Шпион и майор Пронин могут совершать не более одного рейса в день на пароходе и
не имеют никакой другой возможности попасть с острова на остров. Шпион не ездит
на пароходе 13 числа каждого месяца, майор Пронин не суеверен и всегда знает,
где находится шпион. Доказать, что майор сможет поймать шпиона (т.е. оказаться с
ним на одном острове).
Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычёркивает 9 чисел (по
своему выбору) из последовательности 1, 2, 3, ..., 100, 101. После
одиннадцати таких вычёркиваний останутся два числа. Затем второй игрок
присуждает первому столько очков, какова разница между этими оставшимися
числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55
очков, как бы ни играл второй.
На шахматной доске
20×20 стоят 10 ладей и один король. Король не
стоит под шахом и идёт из левого угла в правый верхний по диагонали. Ходят по
очереди: сначала король, потом одна из ладей. Доказать, что при любом
начальном расположении ладей и любом способе маневрирования ими король
попадёт под шах.
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 162]