Задача 110192
|
|
 |
Условие
В средней клетке полоски 1×2005 стоит фишка. Два игрока по очереди сдвигают ее: сначала первый игрок передвигает фишку на одну клетку в любую сторону, затем второй передвигает ее на 2 клетки, 1-й – на 4 клетки, 2-й – на 8 и т.д. (k-й сдвиг происходит на 2k-1 клеток). Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает. Кто может выиграть независимо от игры соперника?Решение
Заметим, что первый игрок делает ходы длиной 1, 4, 1024. Покажем, что первому удастся сделать ход длины 1024 (тогда второй проиграет, так как второму пришлось бы сделать ход длины 2048, что невозможно).Заметим, что 1+2+4+...+ 128<256 , т.е. до 5-го хода первого фишка находится на расстоянии не более 256 от центра.
Пусть первый своим 5-м ходом (на 256 клеток) подвинет фишку в сторону центральной клетки. Тогда после его хода расстояние от фишки до центральной клетки также будет не более чем 256.
После следующего хода второго (на 512 клеток) расстояние от фишки до центральной клетки будет не менее чем 256, и так как 256 + 1002 > 1024 , то первому удастся сделать ход длины 1024 (в направлении центральной клетки).
