Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 50]

Задача 32116

Темы:	[	Неравенства с углами	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Пусть a, b, c – длины сторон треугольника; α, β, γ – величины противолежащих углов. Докажите, что aα + bβ + cγ ≥ aβ + bγ + cα.

Прислать комментарий Решение

Задача 98139

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Иванов С.

Дана таблица n×n, заполненная числами по следующему правилу: в клетке, стоящей в i-й строке и j-м столбце таблицы записано число В таблице зачеркнули n чисел таким образом, что никакие два зачёркнутых числа не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма зачёркнутых чисел не меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61394

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Число e	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите неравенства:
а)

б) при n > 1;

в) при n > 6.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109634

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Скопенков А.Б.

В Думе 1600 депутатов, которые образовали 16000 комитетов по 80 человек в каждом.
Докажите, что найдутся два комитета, имеющие не менее четырёх общих членов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77897

Темы:	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В данный треугольник поместить центрально-симметричный многоугольник наибольшей площади.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 50]