Страница:
<< 10 11 12 13
14 15 16 >> [Всего задач: 406]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на
кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для
любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом
лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить
все лампочки.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Каждый отрезок покрашен в один из K цветов. Петя хочет покрасить каждую точку в один из этих цветов так, чтобы не нашлось двух точек и отрезка между ними, окрашенных в один цвет. Всегда ли Пете это удастся, если
a) K = 7; б) K = 10?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
а) k = 7; б) k = 10.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На олимпиаду пришло 2018 участников, некоторые
из них знакомы между собой. Будем говорить, что несколько попарно знакомых участников образуют "кружок", если любой другой участник олимпиады не знаком с кем-то
из них. Докажите, что можно рассадить всех участников
олимпиады по 90 аудиториям так, что ни в какой аудитории не будут сидеть все представители какого-либо "кружка".
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2.
Страница:
<< 10 11 12 13
14 15 16 >> [Всего задач: 406]
Фильтр
