ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 156]      



Задача 105195

Тема:   [ Раскраски ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Плоскость раскрашена в два цвета, причем каждый цвет использован.
а) Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 2006 м.
б) Докажите, что найдутся две точки разных цветов, расстояние между которыми также равно 2006 м.
Прислать комментарий     Решение


Задача 107791

Темы:   [ Раскраски ]
[ Призма (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Можно ли рёбра n-угольной призмы раскрасить в три цвета так, чтобы на каждой грани были все три цвета и в каждой вершине сходились рёбра разных цветов, если   а)  n = 1995;   б)  n = 1996.

Прислать комментарий     Решение

Задача 34953

Темы:   [ Раскраски ]
[ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причем каждым из этих пяти цветов окрашена хотя бы одна точка. Докажите, что найдется плоскость, все точки которой окрашены не менее, чем в 4 цвета.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66641

Темы:   [ Раскраски ]
[ Сферы (прочее) ]
[ Куб ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Известно, что если у правильного $N$-угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то $2N$ добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин.

А верно ли аналогичное утверждение для находящегося внутри сферы

а) произвольного куба;

б) произвольного правильного тетраэдра?

(Каждое ребро продлевают в обе стороны до пересечения со сферой. В итоге к каждому ребру добавляется по отрезку с обеих сторон. Требуется покрасить каждый из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков была равна сумме длин синих.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 60365

Темы:   [ Раскраски ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Бесконечная клетчатая доска раскрашена в три цвета (каждая клеточка — в один из цветов). Докажите, что найдутся четыре клеточки одного цвета, расположенные в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными стороне одной клеточки.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 156]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .