Каталог по темам

Задачи

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 200]

Задача 115857

Темы:	[	Формулы для площади треугольника	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 30928

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4-
Классы: 6,7

Докажите, что если x + y + z ≥ xyz, то x² + y² + z² ≥ xyz.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55238

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольник с периметром 2p вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключённого внутри треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65558

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа x + y, x – y, xy и ^x/_y и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить x и y.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98236

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Курляндчик Л.Д.

Сумма шестых степеней шести целых чисел на единицу больше, чем их ушестерённое произведение.
Докажите, что одно из чисел равно единице или минус единице, а остальные – нули.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 200]