В остроугольном треугольнике $ABC$ медиана $CM$ и высота $AH$ пересекаются в точке $O$. Вне треугольника отмечена точка $D$ так, что $AOCD$ – параллелограмм. Чему равно $BD$, если известно, что $MO=a$, $OC=b$?

   Решение

На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 12 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов «да» могло быть получено?

   Решение

Натуральное число n назовём хорошим, если каждое из чисел n,   n + 1,  n + 2  и  n + 3  делится на сумму своих цифр. (Например,  n = 60398  – хорошее.)
Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?

   Решение

Точки M и K лежат на сторонах соответственно AB и BC треугольника ABC, отрезки AK и CM пересекаются в точке P. Известно, что каждый из отрезков AK и CM делится точкой P в отношении  2 : 1,  считая от вершины. Докажите, что AK и CM – медианы треугольника.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 424]      

Докажите, что если  6n + 11m  делится на 31, то  n + 7m  также делится на 31.

Прислать комментарий

Решение

Найдите такое n, чтобы число  10ⁿ – 1  делилось на  а) 7;  б) 13;  в) 91;  г) 819.

Прислать комментарий

Решение

Для многочлена  f(x) = x³ – x  найдите Δ²f(x).
Объясните, не применяя соображения делимости, почему  f(x) делится на 6 при всех целых x.

Прислать комментарий

Решение

Найдите наименьшее натуральное n, для которого  (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)  делится на 1000.

Прислать комментарий

Решение

Сумма двух целых чисел равна S. Маша умножила левое число на целое число a, правое – на целое число b, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на S. Алёша, наоборот, левое число умножил на b, а правое – на a. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на S.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 424]