ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 50]      



Задача 109965

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

На выборах в городскую Думу каждый избиратель, если он приходит на выборы, отдает голос за себя (если он является кандидатом) и за тех кандидатов, которые являются его друзьями. Прогноз социологической службы мэрии считается хорошим, если в нем правильно предсказано количество голосов, поданных хотя бы за одного из кандидатов, и нехорошим в противном случае. Докажите, что при любом прогнозе избиратели могут так явиться на выборы, что этот прогноз окажется нехорошим.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73685

Темы:   [ Задачи с ограничениями ]
[ Целочисленные решетки ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

P и Q – подмножества множества выражений вида  (a1, a2, ..., an),  где ai – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kn). Для каждого элемента  (p1, ..., pn)  множества P и каждого элемента  (q1, ..., qn)  множества Q существует хотя бы один такой номер m, что  pm = qm.  Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из kn–1 элементов для
  а)  k = 2  и любого натурального n;
  б)  n = 2  и любого натурального  k > 1;
  в) произвольного натурального n и произвольного натурального  k > 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116695

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Принцип Дирихле ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5+
Классы: 10

Рассмотрим граф, у которого вершины соответствуют всевозможным трёхэлементным подмножествам множества  {1, 2, 3, ..., 2k},  а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют подмножествам, пересекающимся ровно по одному элементу. Найдите минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были разного цвета.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78718

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Задачи с ограничениями ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Правило произведения ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
Сложность: 4
Классы: 10

Одна под другой выписаны 2n–1 различных последовательностей из нулей и единиц длины n. Известно, что для любых трёх из выписанных последовательностей найдётся такой номер p, что в p-м разряде у всех трёх стоит 1. Доказать, что в некотором разряде у всех выписанных последовательностей стоит 1 и такой разряд только один.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109859

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых k+1 квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить не более чем на 2k-1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 50]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .