На прямой через равные промежутки отмечены 1996 точек. Петя раскрашивает половину из них в красный цвет, а остальные – в синий. Затем Вася разбивает их на пары красная-синяя так, чтобы сумма расстояний между точками в парах была максимальной. Докажите, что этот максимум не зависит от того, какую раскраску сделал Петя.

   Решение

В основании пирамиды SABC лежит равнобедренная трапеция ABCD , в которой AD=1 , BC= , угол BAD равен arctg 6 . Высота пирамиды проходит через точку O пересечения диагоналей трапеции. Точка E лежит на отрезке SO , причём SE:SO=1:4 . Цилиндр, ось которого параллельна апофеме SM грани SAD ( SM= ), расположен так, что точка E является центром его верхнего основания, а точка O лежит на окружности нижнего основания. Найдите площадь части верхнего основания цилиндра, лежащей внутри пирамиды.

   Решение

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 602]      

Имеется натуральное 1001-значное число $A$. 1001-значное число $Z$ – то же число $A$, записанное от конца к началу (например, для четырёхзначных чисел это могли быть 7432 и 2347). Известно, что $A > Z$. При каком $A$ частное $A/Z$ будет наименьшим (но строго больше 1)?

Прислать комментарий

Решение

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи есть только нули и единицы. Пусть произведение двух хороших чисел оказалось хорошим числом. Правда ли, что тогда сумма цифр произведения равна произведению сумм цифр сомножителей?

(В 44-м Турнире городов задача предлагалась в эквивалентной формулировке: хорошие числа были названы заурядными)

Прислать комментарий

Решение

Все целые числа выписаны подряд, начиная от единицы. Определить, какая цифра стоит на 206788-м месте.

Прислать комментарий

Решение

Найти трёхзначное число, всякая целая степень которого оканчивается на три цифры, составляющие исходное число (в том же порядке).

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдётся такое, у которого сумма цифр делится на 11.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 602]