Каталог по темам

Выбрано 10 задач

Рассматриваются такие наборы действительных чисел {x₁, x₂, x₃, ..., x₂₀}, заключённых между 0 и 1, что x₁x₂x₃...x₂₀ = (1 – x₁)(1 – x₂)(1 – x₃)...(1 – x₂₀). Найдите среди этих наборов такой, для которого значение x₁x₂x₃...x₂₀ максимально.

Решение

Прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника и проходящая через вершину, разбивает этот треугольник на два треугольника.
Докажите, что радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны.

Решение

Одну сторону прямоугольника увеличили в 3 раза, а другую уменьшили в 2 раза и получили квадрат.
Чему равна сторона квадрата, если площадь прямоугольника 54 м²?

Решение

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведён отрезок, соединяющий вершину A с серединой ребра CC1 . В каком отношении этот отрезок делится плоскостью BDA1 ?

Решение

Докажите равенство:

tg 20^{o .}tg 40^{o .}tg 80^o = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD отмечены середины противоположных сторон BC и AD– точки M и N. Диагональ AC проходит через середину отрезка MN. Найдите площадь АВСD, если площадь треугольника АВС равна S.

Решение

Расстояние между центрами непересекающихся окружностей равно a . Докажите, что точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности и найдите её радиус.

Решение

Вычислите следующие произведения:
а) sin 20^osin 40^osin 60^osin 80^o;
б) cos 20^ocos 40^ocos 60^ocos 80^o.

Решение

Высоты треугольника ABC, проведённые из вершин B и C пересекаются в точке M. Известно, что BM = CM.
Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Решение

Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен график функции y = 2^x?

Решение

Задача 79539

Задача 79356