На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях:  а)  N = 3;  б)  N = 4.

   Решение

Постройте такое подмножество круга, площадью в половину площади круга, что его образ при симметрии относительно любого диаметра пересекается с ним по площади, равной четверти круга.

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 75]      

В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков.

Прислать комментарий

Решение

Постройте такое подмножество круга, площадью в половину площади круга, что его образ при симметрии относительно любого диаметра пересекается с ним по площади, равной четверти круга.

Прислать комментарий

Решение

На прямой взяты три различные точки L, M и N (M между L и N, LNMN). На отрезках LM, MN и LN как на диаметрах построены полуокружности, середины которых — соответственно точки A, B и C. Точка C лежит по одну сторону, а точки A и B — по другую сторону от прямой LN. Найдите отношение площади фигуры, ограниченной этими тремя полуокружностями, к площади треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На прямой взяты три различные точки A, B и C (B между A и C, ABBC). На отрезках AB, BC и AC как на диаметрах построены полуокружности, середины которых — соответственно точки K, L и M. Точка K лежит по одну сторону, а точки L и M — по другую сторону от прямой AC. Найдите отношение площади фигуры, ограниченной этими тремя полуокружностями, к площади треугольника KLM.

Прислать комментарий

Решение

Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рисунке одного радиуса, треугольник – равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника – диаметр окружности). Какой из головастиков имеет большую площадь?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 75]