Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 61455

Тема:

[

Функции нескольких переменных

]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10,11

Определение. Пусть функция f (x, y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f (x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть:
f (x, y)=1/4(f (x+1, y)+ f (x-1, y)+f (x, y+1) + f (x, y-1)).
Пусть f (x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af (x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61456

Тема:

[

Функции нескольких переменных

]

Сложность: 3-
Классы: 8,9,10,11

Пусть f (x, y) — гармоническая функция (определение смотри в задаче 11.28). Докажите, что функции $\Delta_{x}^{}$ f (x, y) = f (x + 1, y) - f (x, y) и $\Delta_{y}^{}$ f (x, y) = f (x, y + 1) - f (x, y) также будут гармоническими.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107987

Темы:	[	Функции нескольких переменных	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

Каждой паре чисел x и y поставлено в соответствие некоторое число x*y. Найдите 1993*1935, если известно, что для любых трёх чисел x, y, z выполнены тождества: x*x = 0 и x*(y*z) = (x*y) + z.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61457

[Дискретная теорема Лиувилля]

Тема:

[

Функции нескольких переменных

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f (x, y) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче 11.28) функция, то есть существует положительная константа M такая, что

$\displaystyle \forall$ (x, y) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$ ² | f (x, y)| $\displaystyle \leqslant$ M.

Докажите, что функция f (x, y) равна константе.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98169

Темы:	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]
	[	Характеристические свойства и рекуррентные соотношения	]
	[	Функции нескольких переменных	]

Сложность: 4-
Классы: 6,7,8

Автор: Гальперин Г.А.

Задано правило, которое каждой паре чисел x, y ставит в соответствие некоторое число x*y, причём для любых x, y, z выполняются тождества:
1) x*x = 0,
2) x*(y*z) = (x*y) + z.
Найдите 1993*1932.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]