ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Многочлены >> Квадратный трехчлен >> Фазовая плоскость коэффициентов
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Последовательность чисел {an} задана условиями

a1 = 1,        an + 1 = an + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Верно ли, что эта последовательность ограничена?

Вниз   Решение

Автор: Погудин Г.А.

Петя подсчитал количество всех возможных m-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только четыре буквы T, O, W и N, причём в каждом слове букв T и O поровну. Вася подсчитал количество всех возможных 2m-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только две буквы T и O, и в каждом слове этих букв поровну. У кого слов получилось больше? (Слово – это любая последовательность букв.)

ВверхВниз   Решение

Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x1, x2, ..., xn ( n $ \geqslant$ 2) из [a;b] и любых положительных $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$, ..., $ \alpha_{n}^{}$ таких, что $ \alpha_{1}^{}$ + $ \alpha_{2}^{}$ +...+ $ \alpha_{n}^{}$ = 1, выполняется неравенство:

f ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$xn) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$f (xn).


ВверхВниз   Решение

Для каждого действительного a построим на плоскости Opq корневую прямую  a² + ap + q = 0.
Докажите, что полученное множество прямых совпадает с множеством всех касательных к дискриминантной параболе  p² – 4q = 0.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

  с решениями  

Задача 60944

Тема:   [ Фазовая плоскость коэффициентов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Каким точкам фазовой плоскости соответствуют квадратные трёхчлены, не имеющие корней?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60945

Темы:   [ Фазовая плоскость коэффициентов ]
[ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Для каждого действительного a построим на плоскости Opq корневую прямую  a² + ap + q = 0.
Докажите, что полученное множество прямых совпадает с множеством всех касательных к дискриминантной параболе  p² – 4q = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60950

Тема:   [ Фазовая плоскость коэффициентов ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

На фазовой плоскости через точку  (p, q)  проведены касательные к дискриминантной параболе  p² – 4q = 0.
Найдите координаты точек касания.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60946

Темы:   [ Фазовая плоскость коэффициентов ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Обозначим корни уравнения  x² + px + q = 0  через x1, x2. Нарисуйте на фазовой плоскости Opq множества точек  M(, q),  которые задаются условиями:
а)  x1 = 0,  x2 = 1;     б)  x1 ≤ 0,  x2 ≥ 2;     в)  x1 = x2;     г)  – 1 ≤ x1 ≤ 0,  1 ≤ x2 ≤ 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60949

Темы:   [ Фазовая плоскость коэффициентов ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Фазовая плоскость Opq разбивается параболой  p² – 4q = 0  и прямыми  p + q + 1 = 0,  – 2p + q + 4 = 0  на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен  x² + px + q = 0  на интервале  (– 2, 1).

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .