Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сумма двух цифр a и b делится на 7. Докажите, что число  aba  также делится на 7.

   Решение

---

Докажите, что ни при каких натуральных значениях x и y число  x⁸ – x⁷y + x⁶y² – ... – xy⁷ + y⁸  не является простым.

   Решение

---

Докажите, что при любом простом  p     делится на p.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60697

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Целые числа a, b, c и d таковы, что  a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴  делится на 5. Докажите, что abcd делится на 625.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60708

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите справедливость следующих сравнений:
  а)  1 + 2 + 3 + ... + 12 ≡ 1 + 2 + 2² + ... + 2¹¹ (mod 13);
  б)  1² + 2² + 3² + ... + 12² ≡ 1 + 4 + 4² + ... + 4¹¹ (mod 13).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60750

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что при любом простом  p     делится на p.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60752

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Докажите, что если  x² + 1  (x – целое) делится на нечётное простое p, то  p = 4k + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60821

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Малая теорема Ферма ] [ Теорема Эйлера ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Найдите остатки от деления:  а) 19¹⁰ на 6;   б) 19¹⁴ на 70;   в) 17⁹ на 48;   г) 14¹⁴¹⁴ на 100.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями