ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Модуль числа >> Свойства модуля. Неравенство треугольника
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Незнайка хвастал своими выдающимися способностями умножать числа "в уме". Чтобы его проверить, Знайка предложил ему написать какое-нибудь число, перемножить его цифры и сказать результат. – "1210", – немедленно выпалил Незнайка. – "Ты неправ!" – сказал, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа?

Вниз   Решение

В обыкновенном наборе домино 28 косточек. Сколько косточек содержал бы набор домино, если бы значения, указанные на косточках, изменялись не от 0 до 6, а от 0 до 12?

ВверхВниз   Решение

На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?

ВверхВниз   Решение

Петя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?

ВверхВниз   Решение

Найти все такие натуральные числа p, что p и  2p² + 1  – простые.

ВверхВниз   Решение

Имеются две одинаковых шестеренки по 14 зубьев на общей оси. Их совместили и выбили четыре пары зубьев.
Доказать, что шестеренки можно повернуть так, что они образуют полноценную шестеренку (без дырок).

ВверхВниз   Решение

Пусть a, b, c – стороны треугольника, p – его полупериметр, а r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство

ВверхВниз   Решение

Найдите значение выражения 1!*3-2!*4+3!*5-4!*6+...-2000!*2002+2001!.

ВверхВниз   Решение

Встречается ли в треугольнике Паскаля число 1999?

ВверхВниз   Решение

Автор: Фомин С.В.

Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?

ВверхВниз   Решение

В наборе  –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5  замените одно число двумя другими целыми числами так, чтобы дисперсия набора и его среднее не изменились.

ВверхВниз   Решение

Легко проверить равенства

log$\displaystyle \left(\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right.$16 + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$$\displaystyle \left.\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right)$ = log 16 + log$\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$;     log$\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right.$$\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - 8$\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right)$ = log$\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - log 8.

В каких еще случаях можно выносить логарифм за скобку?

ВверхВниз   Решение

Прямоугольный параллелепипед размером m×n×k разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?

ВверхВниз   Решение

Автор: Шарыгин И.Ф.

Фигура на рисунке составлена из квадратов. Найдите сторону левого нижнего, если сторона самого маленького равна 1.

ВверхВниз   Решение

Докажите неравенство: |x1 + ... + xn| ≤ |x1| + ... + |xn|, где x1,..., xn — произвольные числа.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

  с решениями  

Задача 60309

Темы:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Неравенства с модулями ]
Сложность: 2
Классы: 8

Докажите неравенство: |x1 + ... + xn| ≤ |x1| + ... + |xn|, где x1,..., xn — произвольные числа.
Прислать комментарий     Решение

Задача 107790

Темы:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Докажите, что

| x| + | y| + | z|$\displaystyle \le$| x + y - z| + | x - y + z| + |-x + y + z|,

где x, y, z — действительные числа.
Прислать комментарий     Решение

Задача 107804

Темы:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Автор: Галочкин А.И.

Докажите, что если для чисел a, b и c выполняются неравенства | a - b|$ \ge$| c|, | b - c|$ \ge$| a|, | c - a|$ \ge$| b|, то одно из этих чисел равно сумме двух других.
Прислать комментарий     Решение

Задача 67152

Тема:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Автор: Френкин Б.Р.

Сто друзей, среди которых есть Петя и Вася, живут в нескольких городах. Петя узнал расстояние от своего города до города каждого из оставшихся 99 друзей и сложил эти 99 чисел. Аналогично поступил Вася. Петя получил 1000 км. Какое наибольшее число мог получить Вася? (Города считайте точками плоскости; если двое живут в одном и том же городе, расстояние между их городами считается равным нулю.)
Прислать комментарий     Решение

Задача 98104

Темы:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

На окружности записаны шесть чисел: каждое равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке.
Сумма всех чисел равна 1. Найти эти числа.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .